Eremitenmönch ist irgendwie doppelt gemoppelt. Ein Eremit (Einsiedler) war meist ein Mönch, ein Mönch war aber meist kein Einsiedler.

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Note added at 1 day23 hrs (2017-10-23 07:33:21 GMT)
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Der Artikel „Eremitenmönch“ existiert in der deutschsprachigen Wikipedia nicht.
https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=Eremitenmönch&ti...

Ein Eremit (altgriechisch ἐρημίτης, eremítēs, aus griechisch ἔρημος, érēmos, das „Wüste“ und „unbewohnt“ bedeutet, daher „Wüstenbewohner“, deutsch auch „Einsiedler“) ist ein Mensch, der mehr oder weniger abgeschieden von den Menschen lebt (siehe Einsiedelei oder Eremitage).
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In der frühen Kirche unterschied man allein lebende (Anachoreten) und gemeinschaftlich lebende Eremiten. Aus ihren Einsiedeleien entstanden später oft Ordensgemeinschaften, Klöster oder auch Ortschaften.
Das Eremitentum gehört zu den ältesten Formen gottgeweihten Lebens und ist zugleich die früheste Form des Mönchtums in Europa. In der Regel des heiligen Benedikt (6. Jh.) wird der Eremit als eine der vier Arten von Mönchen angeführt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Eremit

Verfasser seiner Biographie, der „Vita Hilarionis“, war um 390/392 der hl. Hieronymus. Geboren bei Gaza (Palästina), einer Hochburg des Heidentums, wurde Hilarion zum Studium der heidnischen Philosophie nach Alexandria geschickt, wo er vom Heiligen Antonius hörte, sich taufen ließ und einige Monate als dessen Schüler in der ägyptischen Wüste lebte. 15-jährig ging der junge Hilarion als Einsiedler in die Wüste und gründete eine erste Einsiedlergemeinschaft in Palästina. Durch strengste Askese (unter anderem verzichtete er völlig darauf, sich zu waschen und schnitt sich nur zu Ostern die Haare) erwarb er sich einen schnell wachsenden Ruhm als Mann Gottes und Wundertäter, was zu vielen Besuchen seiner Verehrer führte.
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Hilarion gilt als Begründer des anachoretischen Mönchtums in Syrien und Palästina.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hilarion_von_Gaza

Damit ist klar, dass die Bezeichnung "Eremit“ auf Hilarion besser zutrifft als „Mönch“, oder gar "Eremitenmönch".


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Note added at 1 day23 hrs (2017-10-23 07:44:35 GMT)
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Wie ungewöhnlich "Eremitenmönch" ist sieht man an den Google-Treffern:

"Eremit"
Ungefähr 646.000 Ergebnisse (0,58 Sekunden)
https://www.google.de/search?biw=1053&bih=481&q="Eremit"&oq=...

"Eremitenmönch"
Ungefähr 423 Ergebnisse (0,46 Sekunden)
https://www.google.de/search?hl=de&as_q=&as_epq=Eremitenmönc...

Fazit: "Eremit" ist ca. 1.500 Mal häufiger. Abgesehen davon, dass Eremiten in der Frühzeit des Christentum praktisch immer auch Mönche waren und aus den Einsiedeleien in der Folge Klöster gegründet wurden. Um Mönch oder Einsiedler zu sein, bedurfte es damals keiner förmlichen Berufung.

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Note added at 2 days3 mins (2017-10-23 07:49:54 GMT)
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Nochmal zu Duden:

Leider haben wir zu Ihrer Suche nach 'Eremitenmönch' keine Treffer gefunden.
https://www.duden.de/suchen/dudenonline/Eremitenmönch