最初は弁護士の仲介料と考えたのですが、liaisonとは連絡や接触という意味があるので、ここでは交際費のことを指しているのではないでしょうか。つまり、文頭で法外な料金を請求していて、その中に裁判や訴訟に直接関係のないアメリカ人弁護士との交際費も上乗せして請求されている、と相手は言っているのだと思います。

--------------------------------------------------
Note added at 4 days (2022-05-30 07:26:10 GMT)
--------------------------------------------------

https://ejje.weblio.jp/content/liaison

--------------------------------------------------
Note added at 4 days (2022-05-30 07:34:57 GMT)
--------------------------------------------------

of an American lawyerというフレーズがすごく気になるのですが、もしかしたらアメリカ人弁護士「と」の交際費ではなく、このアメリカ人「と」全く関係のない第三者との間の交際費を上乗せして請求していることも考えられます。もしこのアメリカ人弁護士と原文の中に出てくる請求する側との交際費であれば、"with"を使うのではないでしょうか。