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English to Portuguese: Banach-Tarki Paradox General field: Science
Source text - English The Banach–Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. Indeed, the reassembly process involves only moving the pieces around and rotating them without changing their shape. However, the pieces themselves are not "solids" in the usual sense, but infinite scatterings of points. The reconstruction can work with as few as five pieces.
An alternate form of the theorem states that given any two "reasonable" solid objects (such as a small ball and a huge ball), the cut pieces of either one can be reassembled into the other. This is often stated informally as "a pea can be chopped up and reassembled into the Sun" and called the "pea and the Sun paradox".
The theorem is called a paradox because it contradicts basic geometric intuition. "Doubling the ball" by dividing it into parts and moving them around by rotations and translations, without any stretching, bending, or adding new points, seems to be impossible, since all these operations ought, intuitively speaking, to preserve the volume. The intuition that such operations preserve volumes is not mathematically absurd, and it is even included in the formal definition of volumes. However, this is not applicable here because in this case it is impossible to define the volumes of the considered subsets. Reassembling them reproduces a set that has a volume, which happens to be different from the volume at the start.
Unlike most theorems in geometry, the mathematical proof of this result depends on the choice of axioms for set theory in a critical way. It can be proven using the axiom of choice, which allows for the construction of non-measurable sets, i.e., collections of points that do not have a volume in the ordinary sense, and whose construction requires an uncountable number of choices.
It was shown in 2005 that the pieces in the decomposition can be chosen in such a way that they can be moved continuously into place without running into one another.
from Wikipedia
Translation - Portuguese O paradoxo de Banach–Tarski é um teorema da teoria dos conjuntos geométrica, que afirma o seguinte: Dada uma esfera sólida no espaço tridimensional, existe uma decomposição da esfera em um número finito de subconjuntos disjuntos, que podem então ser reunidos de uma maneira diferente para produzir duas cópias idênticas da esfera original. De fato, o processo de remontagem envolve apenas mover as peças e girá-las sem alterar sua forma. No entanto, as peças em si não são "sólidos" no sentido usual, mas infinitos pontos dispersos. A reconstrução pode funcionar com apenas cinco peças.[1]
Uma forma alternativa do teorema afirma que, dados quaisquer dois objetos sólidos "razoáveis" (como uma bola pequena e uma bola enorme), os pedaços cortados de qualquer um podem ser remontados no outro. Isso é frequentemente dito informalmente como "uma ervilha pode ser cortada e seus pedaços reorganizados para formar o Sol" e chamado de "paradoxo da ervilha e do Sol".
O teorema é chamado de paradoxo porque contradiz a intuição geométrica básica. "Dobrar a esfera", dividindo-a em partes e movendo-as através de rotações e translações, sem qualquer alongamento, dobra ou adição de novos pontos, parece ser impossível, uma vez que todas essas operações devem, intuitivamente falando, preservar o volume. A intuição de que tais operações preservam volumes não é matematicamente absurda, estando mesmo incluída na definição formal de volume. No entanto, isso não é aplicável aqui porque, neste caso, é impossível definir os volumes dos subconjuntos considerados. Remontá-los reproduz um conjunto que tem um volume, que passa a ser diferente do volume inicial.
Ao contrário da maioria dos teoremas em geometria, a prova matemática deste resultado depende de forma crítica do axioma da escolha da teoria dos conjuntos. Ele pode ser provado utilizando-se o axioma da escolha, que permite a construção de conjuntos não mensuráveis, ou seja, coleções de pontos que não possuem volume no sentido comum, e cuja construção requer um número incontável de escolhas.
Foi demonstrado em 2005 que as peças na decomposição podem ser escolhidas de tal forma que possam ser movidas continuamente para o seu lugar sem se encontrarem.
da Wikipédia
English to Portuguese: The Minions of Midas - by Jack London General field: Art/Literary Detailed field: Poetry & Literature
Source text - English The Minions of Midas
Jack London
Wade Atsheler is dead--dead by his own hand. To say that this was entirely unexpected by the small coterie which knew him, would be to say an untruth; and yet never once had we,his intimates, ever canvassed the idea. Rather had we been prepared for it in some incomprehensible subconscious way. Before the perpetration of the deed, its possibility is remotest from our thoughts; but when we did know that he was dead, it seemed, somehow,that we had understood and looked forward to it all the time. This, by retrospective analysis,we could easily explain by the fact of his great trouble. I use "great trouble" advisedly.
Translation - Portuguese Os servos de Midas
Jack London
Wade Atsheler está morto - morto por suas próprias mãos. Dizer que isso foi totalmente inesperado para o pequeno círculo que o conhecia seria dizer uma inverdade; e, no entanto, nem uma vez nós, seus íntimos, sequer examinamos a ideia. Em vez disso, estávamos preparados para isso de alguma forma subconsciente incompreensível. Antes da perpetração do ato, sua possibilidade esta o mais distante de nossos pensamentos; mas quando soubemos que ele estava morto, parecia, de alguma forma, que tínhamos entendido e esperávamos por isso o tempo todo. Isso, por uma análise retrospectiva, poderíamos explicar facilmente pelo fato de seu grande problema. Eu uso "grande problema" deliberadamente.
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I worked as a hardware and software development engineer for electronic communications equipment. This work involves reading and writing in English the technical documentation of electronic components and equipment, as well as communicating with international suppliers and customers. Currently I work at the Brazilian Federal Court of Accounts, developing data analysis software applied to auditing.
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